3.6 Vector tangente, normal y binormal

La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.

Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.

De manera similar, un vector tangencial unitario es definido como,




Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición de la función dada y t es la variable de parametrización.


En la figura anterior, X es un punto estático, mientras que P es un punto en movimiento. El punto P se mueve lentamente en la dirección del punto X, mientras el punto P se acerca al punto X, el vector desde el punto X hasta el punto P se acerca al vector tangente en el punto X. La recta que contiene el vector tangente se conoce como recta tangencial.

Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como,


Aquí es el vector unitario de la función dada.


Como se describió en la figura anterior, un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano o superficie dada. Un vector normal para una superficie dada en un punto arbitrario,sea (x, y), está dado por una matriz como la siguiente,


Aquí fx y fy son diferenciales parciales de la función dada con respecto a x e y.

De la misma forma, el vector normal a un plano es representado por una matriz como,


Donde la ecuación del plano es,

f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0

Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como,


Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentranperpendicular a la superficie dada, un vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.