2.3. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.

CIRCUNFERENCIA

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:

𝑥=𝑎cos𝜃

𝑦=𝑎sin𝜃

CICLOIDE

Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija.

Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

𝑥=𝑂𝑃=𝑂𝑇−𝑀𝑁=r𝜃−𝑟sin𝜃;

𝑦=𝑃𝑀=𝑇𝐶−𝑁𝐶=𝑟−𝑟cos𝜃;

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝑥=𝑟(𝜃−𝑟sin𝜃);

𝑦=𝑟 1−cos𝜃 ;

que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

HIPOCICLOIDE Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia.

En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB;

o sea: arco AB=2πb.

Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.

ASTROIDE

Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide.

Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:

𝑥=𝑎cos3𝜃;

𝑦=𝑎sen3𝜃

Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.