El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en un sistema de coordenadas polarestenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo.
La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).
Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva.
La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.
Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva:
1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado.Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2.
3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo.
Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son loscardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.
Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t)
Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar.
Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos.Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4.
Comprobemos la simetría de la curva,
Attach:cv259.jpg Δ
El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t.
Finalmente dibuje los puntos trazados en un sistema de coordenadas polar como,
Con la ayuda de los tests de simetría realizados anteriormente complete la curva como,
La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).
Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva.
La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto, pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes valores de r.
Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva:
1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado.Si el valor resulta ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2.
3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo.
Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas son loscardioides, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.
Tracemos ahora una curva a partir la ecuación r = 3 cos (2t)
Primeramente, debemos tratar de analizar la ecuación. Las curvas polares tienen un patrón fijo y mediante el análisis de la ecuación dada, puede identificarse el tipo de curva. La ecuación anterior es una Rosa polar.
Las Rosas polares también pueden tener un número par o impar de pétalos.Con el fin de determinar el número de pétalos que contiene el gráfico, necesitamos calcular a n. Si n es un par entero, entonces la curva tendrá 2.n número de pétalos, de lo contrario contendrá un número n de pétalos. En el ejemplo anterior tenemos que n = 2 por lo tanto, la curva también tendrá2.n número de pétalos, es decir, 4.
Comprobemos la simetría de la curva,
Attach:cv259.jpg Δ
El próximo paso es calcular la función para los diferentes valores de t.
Finalmente dibuje los puntos trazados en un sistema de coordenadas polar como,
Con la ayuda de los tests de simetría realizados anteriormente complete la curva como,
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