3.4 Integración de funciones vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,


Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,


Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,


El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces


si, f R en [a, b].

Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .

Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,

r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>

Ahora integremos r’(t) como,

r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) = 

Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,

r(0) = = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2

Entonces la función r(t) se calcula como .

Por lo general, en el caso que la función vectorial esté en lugar de la constante de integración hacemos uso del vector integración, el cual es un vector arbitrario.

De manera similar, un campo vectorial completo también puede ser integrado lo cual nos ayuda a determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo vectorial. Esto se hace tomando la integral de línea del campo vectorial dado.