3.1 Definición de función vectorial de una variable real

Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,


De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,


Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,


Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,


Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial.

Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo.

Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nosproveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja.

Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como,


Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,


Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.


Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una función vectorial puede ser escrita como,


Es decir, todos los componentes de la presente función son funciones del tiempo, dado que varían con el tiempo.

Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial
A
( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x,y, z, o sea:
A ( t ) = Ax ( t ) i + Ay ( t ) j + Az ( t ) k 


Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.