miércoles, 12 de diciembre de 2012

2.6 Graficación de curvas planas en coordenadas polares.


Rosa de cuatro hojas/pétalos
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma

una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:


Rosa de tres hojas/pétalos
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógica mente al gráfico de la
rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su

forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

Rosa de ocho hojas/pétalos
El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal
como lo vemos en la siguiente función graficada:

Una rosa dentro de otra
Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que
vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de
otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:




Cardiodes
A  continuación  se  presenta  el  tipo  de  gráfico  que  se  denomina  cardioide.  Para  este
ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia
la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por
la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:


Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo
pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:



LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín  limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió
Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo
dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar
tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en
coordenadas polares con la forma:
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un
caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este
gráfico es la siguiente:





Otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior

pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con
hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está
dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta

hacia la izquierda:
Un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de
modo que tenemos un lima- con o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido

hacia la derecha:
Otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol

ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

Circunferencia
Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la

circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia
que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia
del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su

gráfico es esta:
Espiral
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más
simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de
una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de
Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y
matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio
profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales,
escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas
polares que formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada
por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una
función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:












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