5.4 aplicaciones a áreas y solución de problemas

Aplicaciones a áreas y solución de problema 

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

Resolución de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren?

¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo  que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo  de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

 Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente  Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.

Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solución por método analítico

Calculo de Fy:  

Sen 30º = cateto opuesto = Fy

Hipotenusa F

Despejemos Fy:      Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N                                 

Calculo de Fx:                 Cos 30º = cateto adyacente = Fx          Hipotenusa F

Despejemos Fx:              Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

5.3 Integrales iteradas dobles y triples

Integrales iteradas triples.

Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h}

Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos.

Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo

[a, b] × [c, d] del plano x, y.

Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones

≤(x, y) y  (x, y).

Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como:

D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z  ≤ (x, y)} (1)

En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones  ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.

Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z  ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D.

Definición

 El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple

Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama

Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es

Simple respecto de y.

El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la

Explicada antes de la definición 3.1.1:

Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces,

Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y

Adquiere la forma siguiente:

D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _  (x, y)} (1b)

Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para

Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es

Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un

Plano vertical, que tiene por ecuación:

D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _  (x0, y)} (1c).

5.2 Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

\que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
• El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
• Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. 

Una función vectorial definida en 

diferenciable y acotada en la parametrización de una trayectoria enSe llama integral de línea de F sobre a la integral: 

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

5.1 Introducción

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos suman dos, infinitamente pequeños. 

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

3.7 Curvatura

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos.En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como


Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Entonces en P la segunda derivada resultará ser positiva lo cual significa que la pendiente incrementará con el recorrido de la recta transversa.

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Entonces en P la segunda derivada resultará ser negativa lo cual significa que la pendiente disminuirá con el recorrido de la recta transversa.

Y en el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma


Este gráfico representa la curvatura cero. Este es el punto de inflexión de la pendiente.

Curvatura de la Superficie: La curvatura de una superficie puede ser negativa o positiva. Sin embargo, en el caso de una curvatura positiva se forma una superficie esférica. Hay ciertos casos relacionados con la curvatura de la superficie:

Si la superficie es plana, entoncesen cada punto de la superficie la curvatura resulta ser 0. Esta denota una esfera de diámetro infinito.


Al tomar parte de la esfera la cual a su vez toca el plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia nosotros dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura positiva.

De igual manera, al tomar la parte de la esfera en la cara opuesta del plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia afuera dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura negativa.

La curvatura también puede ser encontrada con la ayuda de la longitud de la cuerda así también como con la del arco. Para esto, considere dos puntos cualesquiera P y Q en la curva C y cuya longitud del arco sea s (P, Q) y la longitud del segmento de recta es d (P, Q). Entonces, en Pla curvatura de la curva C es dada por:


En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocard (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente. 

3.6 Vector tangente, normal y binormal

La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.

Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.

De manera similar, un vector tangencial unitario es definido como,




Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición de la función dada y t es la variable de parametrización.


En la figura anterior, X es un punto estático, mientras que P es un punto en movimiento. El punto P se mueve lentamente en la dirección del punto X, mientras el punto P se acerca al punto X, el vector desde el punto X hasta el punto P se acerca al vector tangente en el punto X. La recta que contiene el vector tangente se conoce como recta tangencial.

Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como,


Aquí es el vector unitario de la función dada.


Como se describió en la figura anterior, un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano o superficie dada. Un vector normal para una superficie dada en un punto arbitrario,sea (x, y), está dado por una matriz como la siguiente,


Aquí fx y fy son diferenciales parciales de la función dada con respecto a x e y.

De la misma forma, el vector normal a un plano es representado por una matriz como,


Donde la ecuación del plano es,

f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0

Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como,


Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentranperpendicular a la superficie dada, un vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.

3.5 Longitud de arco

Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,


La primera derivada de la función será,


Tenemos la longitud del arco de la función como,


Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t).

Sin embargo, tenemos,


Esto puede ser escrito como,


La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial,


Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n
Por lo tanto, se puede concluir que,


Esto implica que tenemos,


La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta.

La longitud del arco también está representada por la ecuación,


En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que,


Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s))

será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco.

Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds

Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt)

Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente.

Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2