Aplicaciones a áreas y
solución de problema
Suma y resta de vectores:
método gráfico y analítico.
Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes
escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg +
5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo,
para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes
tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple
suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos
casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su
sentido.
Resolución
de problemas de suma de vectores
Un
jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.
Calcular:
¿Cuál es
la diferencia total que recorren?
¿Cuál es
su desplazamiento?
Solución:
Como la
distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al
sumar aritméticamente las dos distancias:
Dt = d1+
d2= 3km + 4km = 7km
para
encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde
a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de
partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos
a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por
d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2.
Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2,
al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos
desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el
origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la
magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y
su dirección se determina por el ángulo
que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo
de 37º en dirección noroeste.
Descomposición y composición
rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.
Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual
puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado.
Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento
se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de
vectores, el procedimiento se denomina composición.
En la
siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el
origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si
a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje
de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados,
reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama
rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).
Se llama
componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un
ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente
vector.
Solución por método grafico
Para
encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del
vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser:
1cm = 10N
Trazamos
nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir
del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y
otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo
del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el
extremo del vector componente Fy. En
ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual
estamos descomponiendo:
Par encontrar el valor de la
componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de
acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente
3.4cm que representan 34N.
Para
hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir
con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso
es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.
Solución por método analítico
Calculo de Fy:
Sen 30º = cateto opuesto = Fy
Hipotenusa F
Despejemos Fy: Fy = F sen 30º =
40N x 0.5 = 20N
Calculo de Fx: Cos
30º = cateto adyacente = Fx Hipotenusa
F
Despejemos Fx: Fx = F
cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N
Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y
Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se
explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos
expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las
componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el
valor de las componentes es obtenido con mayor precisión
muchas gracias Ing. Jazmin me fue de mucha ayuda toda esta informacion
ResponderEliminar