5.3 Integrales iteradas dobles y triples

Integrales iteradas triples.

Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h}

Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos.

Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo

[a, b] × [c, d] del plano x, y.

Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones

≤(x, y) y  (x, y).

Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como:

D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z  ≤ (x, y)} (1)

En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones  ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.

Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z  ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D.

Definición

 El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple

Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama

Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es

Simple respecto de y.

El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la

Explicada antes de la definición 3.1.1:

Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces,

Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y

Adquiere la forma siguiente:

D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _  (x, y)} (1b)

Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para

Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es

Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un

Plano vertical, que tiene por ecuación:

D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _  (x0, y)} (1c).