5.4 aplicaciones a áreas y solución de problemas

Aplicaciones a áreas y solución de problema 

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

Resolución de problemas de suma de vectores

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren?

¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo  que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo  de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

 Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente  Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.

Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solución por método analítico

Calculo de Fy:  

Sen 30º = cateto opuesto = Fy

Hipotenusa F

Despejemos Fy:      Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N                                 

Calculo de Fx:                 Cos 30º = cateto adyacente = Fx          Hipotenusa F

Despejemos Fx:              Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

5.3 Integrales iteradas dobles y triples

Integrales iteradas triples.

Se llama prisma rectangular o intervalo tridimensional al siguiente subconjunto de R3:

R = [a, b] × [c, d] × [e, h] = {(x, y, z) 2 R3: a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d, e ≤z ≤h}

Donde a < b, c < d, e < h son números reales fijos.

Sean: D1 _ [a, b] × [c, d] 7! [e, h] dos funciones continuas tales que ≤(x, y) ≤ (x, y) para todo (x, y) 2 D1, donde D1 es un dominio simple (respecto de x o respecto de y) en el rectángulo

[a, b] × [c, d] del plano x, y.

Hágase un dibujo en el espacio, con tres ejes coordenadas x, y, z: el dominio D1 está en el plano “horizontal” z = 0 y proyectándose sobre ´el, en el espacio, están las gráficas de las funciones

≤(x, y) y  (x, y).

Consideremos el dominio D (tridimensional) contenido en el prisma rectangular R = [a, b] ×[c, d] × [e, h] definido como:

D = {(x, y) 2 D1, ≤(x, y) ≤ z  ≤ (x, y)} (1)

En el dibujo realizado antes D es el sólido comprendido entre las gráficas de las funciones  ≤ y , que se proyecta verticalmente sobre el dominio plano D1 del plano x, y.

Para cada (x, y) fijos en el dominio plano D1, el segmento (bastón ) vertical _(x, y) ≤ z  ≤ (x, y) está contenido en el sólido D. Al mover el punto (x, y) 2 D1, este bastón vertical “barre” el sólido D.

Definición

 El dominio D que cumple (1) se llama dominio (tridimensional) simple

Respecto de x, y, si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es simple respecto de x; y se llama

Dominio (tridimensional) simple respecto de y, x si su proyección D1 sobre el plano z = 0 es

Simple respecto de y.

El análisis del solido D a continuación debe seguirse con figuras tridimensionales, como la

Explicada antes de la definición 3.1.1:

Consideremos primero el dominio (bidimensional) simple D1, simple respecto de x. Entonces,

Por la definición 3.1.1, el dominio D (tridimensional) definido en (1) es simple respecto a x, y

Adquiere la forma siguiente:

D = {a _ x _ b, _(x) _ y _ μ(x), _(x, y) _ z _  (x, y)} (1b)

Se puede mirar a D de la forma que describimos más abajo, en vez de verlo como generado por

Bastones verticales para cada (x, y) fijo en D1, que recorren D cuando (x, y) se mueve en D1. Para

Cada x = x0 2 [a, b] fijo, la intersección del solido D con el plano vertical x = x0 (este plano es

Perpendicular al eje de las x) es un dominio plano, “tajada o feta” del solido D al cortarlo con un

Plano vertical, que tiene por ecuación:

D \ {x = x0} = {(y, z) : _(x0) _ y _ μ(x0), _(x0, y) _ z _  (x0, y)} (1c).

5.2 Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

\que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
• El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
• Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo. 

Una función vectorial definida en 

diferenciable y acotada en la parametrización de una trayectoria enSe llama integral de línea de F sobre a la integral: 

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

5.1 Introducción

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos suman dos, infinitamente pequeños. 

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.